Derivadas
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Fórmulas de derivadas
Sean a, b, e y k constantes (números reales) y
consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.
En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.
Derivada de una constante f(x)=k f’(x)=0
Derivada de x f(x)=x f’(x)=1
Derivada de la función lineal f(x)=ax+b f’(x)=a
Derivada de una potencia f(x)= uk f’(x)= k.uk-1 .u’
Derivada de una suma f(x)= u+-v f’(x)=u’+-v’
Derivada de un producto f(x)= u.v f’(x)=u’.v+u.v’
Derivada de un cociente f(x)=u/v f’(x)=u’.v-u.v’/v2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE
DERIVADAS
Calcula
las derivadas de las funciones:
f(x)=5
f’(x)=0
f(x)=2x4+x3-x2+4
f’x=8x3+3x2-2x
Calcula mediante la fórmula de la derivada de
una potencia:
f(x)=5/x5=5x-5
f(x)=-25x-6=-25/x6
Calcula mediante la fórmula de la derivada de una raíz:
1
2
3
Deriva las funciones exponenciales:
1)
Calcula la derivada de las funciones logarítmicas:
EJERCICIO DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA
ADMINISTARCION DE EMPRESAS
El ingreso per cápita promedio en cierto país al
tiempo t es igual a W=6000+500t+10t^2. (W esta en dólares y t en años). El
tamaño de la población en el instante t (en millones) es P=10+0.2t+0.01t^2.
Calcule la tasa de cambio del PNB en el instante t.
Sugerencia: PNB= tamaño de la población x ingreso per cápita
Sugerencia: PNB= tamaño de la población x ingreso per cápita
Tasa de cambio PNB = 6200 + 520t + 21t² + 0,4t³
$/año
y = P·W => y' = P '· W + P · W '
P = 10 + 0,2·t + 0,01·t²
P' = 0,2 + 0,02·t
W = 6000 + 500·t + 10·t²
W '= 500 + 20·t
y' = (0,2 + 0,02·t)·(6000 + 500·t + 10·t²) + (10 + 0,2·t + 0,01·t²)·(500 + 20·t)
y' = (1200 + 220t + 12t² + 0,2t³) + (5000 + 300t + 9t² + 0,2t³)
y' = 6200 + 520t + 21t² + 0,4t³
P = 10 + 0,2·t + 0,01·t²
P' = 0,2 + 0,02·t
W = 6000 + 500·t + 10·t²
W '= 500 + 20·t
y' = (0,2 + 0,02·t)·(6000 + 500·t + 10·t²) + (10 + 0,2·t + 0,01·t²)·(500 + 20·t)
y' = (1200 + 220t + 12t² + 0,2t³) + (5000 + 300t + 9t² + 0,2t³)
y' = 6200 + 520t + 21t² + 0,4t³
