FUNCIONES LINEALES

una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Forma Punto-Pendiente

Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como.  En ésta ecuación, m es la pendiente y (x₁, y₁) son las coordenadas del punto.

Veamos de dónde es que viene ésta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella.

La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como . Ésta ecuación es la fórmula de la pendiente.

Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, . Si sustituimos éstas coordenadas en la fórmula, obtenemos . Ahora podemos manipular un poco la ecuación al multiplicar ambos lados de la fórmula por . Que se simplifica a .

 es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la pendiente en la fórmula punto-pendiente. No lo hicimos sólo por diversión, sino porque la fórmula punto-pendiente es a veces más útil que la fórmula de la pendiente, por ejemplo cuando necesitamos encontrar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente.

Hagamos otro ejemplo. Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de .

Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos . Que es la ecuación de la recta.

¿Cuál de los siguientes puntos se encuentra en la recta (y + 8) = 7(x − 5)?

A) (5, -8)

B) (5, 8)

C) (8, 5)

D) (8, -5)

Mostrar/Ocultar la Respuesta

Forma estándar

Recuerda, la fórmula punto-pendiente es sólo un tipo de ecuación lineal. Es efectiva para describir algunas de las características de la recta. Sin embargo, ecuaciones punto-pendiente pueden ser difíciles de usar en algunas operaciones algebraicas. En esos casos, puede ser útil convertir la ecuación en una forma diferente, la forma estándar.

La forma estándar de una ecuación es Ax + By = C. En este tipo de ecuación, x y y son variables y A, B, y C son enteros.

Podemos convertir una ecuación punto-pendiente en su forma estándar si movemos las variables al lado izquierdo de la ecuación. Volvamos a la ecuación punto-pendiente de . Podemos arreglar los términos como sigue:

Ejemplo
Problema	(y − 3)	=
	4(y − 3)	=
	4y − 12	=	-1x + 1
	x + 4y − 12	=	-x + 1 + x
	X + 4y − 12	=	1
	x + 4y − 12 + 12	=	1 + 12
Forma estándar	x + 4y	=	13

Cuando movemos los términos variables al lado izquierdo de la ecuación y el resto al lado derecho, obtenemos .  Ésta ecuación está en su forma estándar.

Adaptando la Fórmula a la Situación

Ahora sabemos cómo convertir ecuaciones de punto-pendiente a su forma estándar, y cómo ir y venir entre una gráfica y una ecuación lineal. Pero con tantas opciones, ¿cómo decidimos cuál forma utilizar en una situación cotidiana?

La respuesta es identificar qué es lo que sabes y qué es lo que quieres averiguar, y ver qué forma utiliza esos términos. Veamos una situación donde una forma de ecuación es más útil que las otras.

Andre quiere comprar un reproductor de MP3. Tiene $50 de su cumpleaños, pero el reproductor que él quiere cuesta $230, así que tendrá que ahorrar para juntar el resto. Su plan es ahorrar $30 al mes hasta que consiga la cantidad que necesita. Lo ayudaremos a escribir una ecuación para analizar ésta situación. Esto nos ayudará a saber cuándo tendrá suficiente dinero para comprar el reproductor de MP3.

Cuando escribimos la ecuación, x será el tiempo en meses, y y será la cantidad de dinero ahorrado. Pasado el primer mes, Andre tiene $80. Lo que significa que cuando x = 1, y = 80. Entonces sabemos que la recta pasa por el punto (1, 80). También, sabemos que Andre espera ahorrar $30 al mes. Esto equivale a la tasa de cambio, o pendiente, que entonces será 30.

Tenemos un punto y tenemos la pendiente — es todo lo que necesitamos para escribir una fórmula punto-pendiente. así que esa será la forma de ecuación lineal que usaremos. Recuerda, la forma punto-pendiente es . Cuando sustituimos el punto y la pendiente, la ecuación se vuelve .

Muy bien,¿y ahora qué? Bueno, tenemos la fórmula que describe el plan de ahorro de Andre. Podemos utilizarla para calcular cuánto tiempo le tomará ahorrar el dinero que necesita para comprar el reproductor de MP3.

Recuerda, la y en la ecuación representa la cantidad que Andre ha ahorrado, y la x representa el número de meses que ha estado ahorrando. Queremos encontrar cuál es el valor de x cuando y es igual a 230. Entonces, sólo necesitamos igualar y con 230 en nuestra ecuación y resolver x.

Ejemplo
Problema	y − 80	=	30(x − 1)
	230 − 80	=	30(x − 1)
	150	=	30x − 30
	180	=	30x
Solución	6	=	x

El resultado es x = 6. Le tomará a Andre 6 meses ahorrar los $230 que necesita para comprar su reproductor de MP3. Ya que el problema nos dijo que conocíamos un punto y una pendiente, pudimos escoger la forma correcta para el trabajo de escribir la ecuación. Una vez que escribimos la ecuación, pudimos resolver la variable que queríamos encontrar.

EJERCICIOS 

Escribir su ecuación 

•   Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2, 5). 
• Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2, 5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.
• Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2, 5). 

1. Escribir la ecuación punto pendiente de:

•  Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2, 5).
•  Una recta que pasa por los puntos A(−2, −3) y B(4, 2).
•  Una recta que pasa por A(−2, −3) y tiene una inclinación de 45°.

1. Escribir la ecuación general de la recta que:

•  Pasa por A (1, 5) y tiene como vector director  igual (−2, 1).
•  Pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = −2.
• Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = −2.
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(2, −5).
• Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).
• Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y − 7 = 0.
• Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:
• ¿Son secantes las rectas r ≡ x + y − 2 = 0 y s ≡ x − 2y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.
• Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).
• Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, −3), B(3, 0) y C(0, 1).
1 2x + 3y − 4 =0
2 x − 2y + 1= 0
3 3x − 2y − 9 = 0
4 4x + 6y − 8 = 0
5 2x − 4y − 6 = 0
6 2x + 3y + 9 = 0
• De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(−2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.
• Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.
• De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

1. Los otros vértices.

• Las ecuaciones de las diagonales.
• La longitud de las diagonales.
• Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (−2, 2).
• La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. Calcula m y n.
• Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice B.

1. Los puntos A(−1, 3) y B(3, −3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x − 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.

OFERTA - DEMANDA - EQUILIBRIO

DEMANDA

La cantidad de un artículo que un individuo desea comprar en un periodo determinado, es una función o depende del precio de dicho artículo, del ingreso monetario de la persona, de los precios de otros artículos y de sus gustos. Al variar el precio  del artículo en cuestión y manteniendo constantes tanto el ingreso y los gustos del individuo, como los precios de los demás artículos (el supuesto de ceteris paribus), se obtiene la tabla de la demanda individual del articulo. La representación gráfica de la tabla de la demanda individual, da como resultado la curva de la demanda.

2.1    a) Exprese en lenguaje matemático sencillo lo que se analizó anteriormente.

b) ¿Cómo se llega a la expresión Cd_x = f(Px) cet. Par?

a) Lo dicho anteriormente puede expresarse en lenguaje matemático sencillo como sigue:

Cd_x =f(P_x,M,P₀,T)

     donde Cd_x = cantidad del artículo X                   Px = precio del artículo X

demandada por el individuo             M = ingreso monetario del individuo

en un periodo determinado               P₀ = precios de otros artículos
f = función de, o depende de                        T = gustos del individuo

b) Si se mantienen constantes el ingreso monetario del individuo, los precios de los demás artículos y los gustos del individuo, pueden expresarse así:

Cd_x =f(P_x,M,P₀,T)

Donde la barra sobre M, Po, y T significa que se mantienen

Qd_x =f(P_x)cet.par

Esto se lee: La cantidad del artículo X que demanda un individuo en un periodo determinado es una función, o depende del precio del artículo mientras que permanece constante todo lo que afecta la demanda individual del artículo.

2.2.  a) ¿Cuál es la relación entre la expresión Cd_x = f(P_x) cet. par. y la expresión

      Cd_x = 8 - P_x cet. par. en el ejemplo 1?

b) ¿Cuál es la relación entre "necesidad" o "deseo" y "demanda"?

a)    La expresión Cd_x = f(P_x) cet. par. es una relación funcional en general que sólo indica que Cd_x es una función o depende de P_x, cuando todo lo demás que afecta la demanda individual para el artículo permanece constante.

La expresión Cd_x = 8 - P_x cet. par. es una relación funcional específica que indica precisamente cómo Cd_x depende de P_x. Esto es, que al sustituir los diferentes precios del artículo X en esta función específica de la demanda, se obtiene la cantidad particular del artículo X que demanda el individuo por unidad de tiempo a estos diferentes varios precios. Así, se obtiene la tabla de la demanda del individuo y de ésta, la curva de la demanda.

b)    La demanda de un artículo surge por su capacidad para satisfacer una necesidad o un deseo. Sin embargo, la demanda de un artículo, en un sentido económico, se da cuando existe la necesidad por el artículo y el consumidor tiene dinero para comprarlo. Por lo tanto, la demanda se refiere realmente a la demanda efectiva más que a una simple necesidad.

2.3. De la función de demanda Cd_x = 12 - 2P_X (P_x está dado en dólares), derive a) la tabla de la demanda individual y b) la curva de la demanda individual, c) ¿Cuál es la cantidad máxima del artículo X que este individuo demandará por periodo?

a)

Tabla 2.7

Px($)	6	5	4	3	2	1	0
Cdx	0	2	4	6	8	10	12

b) Debe destacarse que en economía, al contrario del uso matemático, el precio (la variable independiente o explicativa) se traza en el eje vertical, mientras que la cantidad demandada por unidad de tiempo (la variable dependiente o "explicada") se traza en el eje horizontal (véase la Fig. 2-7). La razón de la pendiente negativa de la curva de la demanda individual se explicará en el capítulo 4. 

c) La cantidad máxima de este artículo que el individuo demandará por unidad de tiempo es de 12 unidades. Esto ocurre a un precio de cero, y se llama punto de saturación para el individuo. Unidades adicionales de X causarían al individuo un problema de almacenamiento y de disponibilidad. Por lo tanto, los puntos "apropiados" de la curva de la demanda están todos en el primer cuadrante.

2.4 Con base en la tabla de la demanda individual (Tabla 2.8) del artículo X, a) dibuje la curva de la demanda, b) De qué manera se diferencia esta curva de la demanda con la del problema 2.3?

Tabla 2.8

Tabla de la demanda del individuo

Px(S)	6	5	4	3	2	1
Cdx	18	20	24	30	40	60

b) En este problema, la demanda individual está dada por una curva, mientras que en el problema 2.3 estaba dada por una línea recta. En el mundo real, una curva de la demanda puede ser una línea recta, una curva suave o cualquier otra curva irregular (pero generalmente con pendiente negativa). Para simplificar, tanto en el problema 2.3 como en el texto se analizó una curva de la demanda rectilínea.

2.5   De la función de demanda Cd_x = 8/P_x (Px está dado en dólares), derive á) la tabla de la demanda individual b) la curva de la demanda individual, c) ¿Qué tipo de curva de demanda es ésta?

a)            Tabla 2.9

Px(%)	1	2	4	8
Cx	8	4	2	1

c) La curva de la demanda en este problema es una hipérbola rectangular. A medida que uno se aleja del origen a lo largo de cualesquiera de los ejes, la curva de la demanda se acerca cada vez más al eje, pero nunca lo toca. Este tipo de curva se denomina asíntoti a los ejes. En algunas ocasiones, los economistas utilizan este tipo de curva de demanda debido a sus características especiales. En el capítulo siguiente se examinarán algunas de ellas.

2.6   La tabla 2.10 da dos tablas de demanda de un individuo para el artículo X. La primera de éstas (Cd_x), es la misma que la del problema 2.4. La segunda (Cd _x), resultó de un aumento en el ingreso monetario del individuo (permaneciendo todo lo demás constante),

Tabla 2.10

Px($)	6	5	4	3	2	1
Cdx	18	20	24	30	40	60
CDx	38	40	46	55	70	100

a) Grafique los puntos de las dos tablas de la demanda en el mismo sistema de ejes y obtenga las dos curvas de la demanda, b) ¿Qué sucedería si el precio de X bajara de $5 a $3 antes de subir el ingreso del individuo? c) Con un precio fijo de $5 para el artículo X, ¿qué sucede cuando aumenta el ingreso del individuo? d) ¿Qué pasa si al mismo tiempo que sube el ingreso del individuo, baja el precio de X de $5 a $3? e) ¿Qué tipo de bien es el artículo X? ¿Por qué?

a)    Véase tabla 2.10.

b)    Cuando el precio de X baja de $5 a $3 antes de subir el ingreso del individuo, la cantidad demandada del artículo X aumenta de 20 a 30 unidades por periodo, (Éste es un movimiento a lo largo de d_x en dirección descendente, desde el punto A hasta el punto B en la figura.)

c)    Cuando sube el ingreso del individuo, toda la curva de la demanda se desplaza hacia arriba y hacia la derecha, de  hacia d _x. Esto se denomina un incremento de la demanda. Con precio fijo de $5, el individuo comprará ahora (es decir, después del desplazamiento) 40 unidades de X en lugar de 20 (es decir, el individuo para del punto A al punto C).

d)    Cuando sube el ingreso del individuo mientras baja el precio de X (de $5 a $3), el individuo compra 35 unidades adicionales de X (es decir, pasa del punto A al punto D).

e)    Puesto que d_x se desplazó hacia arriba (a ) cuando aumentó el ingreso del individuo, el artículo X es un bien normal para dicho individuo. Si d_x se hubiera desplazado hacia abajo al aumentar el ingreso del individuo, el artículo X habría sido un bien inferior para él. En algunos casos, un artículo puede ser normal para un individuo en ciertos intervalos de su ingreso, e inferior para otro individuo o para el mismo individuo en diferentes intervalos de su ingreso. (En el Capítulo 3 se verá más sobre esto.)

2.7 Los valores de la tabla 2.11 se refieren al cambio en el consumo de café y té de un individuo en su hogar cuando el precio del café sube (todo lo demás, incluido el precio del té, permanece igual), a) Dibuje una figura que muestre estos cambios y b) explique la figura.

Tabla 2.11

	Antes		Después
	Precio (cents./taza)	Cantidad (tazas/mes)	Precio (cents./taza)	Cantidad (tazas/mes)
Café	40	50	60.	30
Té	20	40	20	50

a)    En la figura 2-11 a), se ve que cuando el precio del café sube de 40 a 60 centavos por taza (mientras todo lo demás que afecta la demanda de café permanece igual), la cantidad demandada de café cae de 50 a 30 tazas por mes. Esto se refleja en un movimiento a lo largo de la curva de la demanda del individuo en una dirección ascendente. Como el té es un sustituto del café, el incremento en el precio de éste provoca un desplazamiento hacia arriba en la curva hipotética de demanda de té, de d a d' en la figura 2-11 b). Por lo tanto, si el precio del té se mantiene en 20 centavos por taza, el consumo de té del individuo aumenta de 40 a 50 tazas por mes.

2.8 Los valores en la tabla 2.12 se refieren al cambio en el consumo de limones y té de un individuo en su hogar, aumenta el precio de los limones (todo lo demás permanece igual incluido el precio del té), a) Dibuje una figura que muestre estos cambios y b) explique la figura.

Fig. 2.11

Tabla 2.12

	Antes		Después
	Precio (cents./taza)	Cantidad (tazas/mes)	Precio (cents./taza)	Cantidad (tazas/mes)
Limones	10	20	20	15
Té	20	40	20	35

b) En la figura 2-12 a), se ve que cuando el precio de los limones sube de 10 a 20 centavos por unidad (permaneciendo igual todo lo demás que afecta la demanda para los limones), la cantidad demandada de limones baja de 20 a 15 por mes. Esto se refleja en un movimiento hacia arriba a lo largo de la curva de la demanda de limones del individuo. Puesto que los limones son un complemento del té para este individuo, el aumento en el precio de los limones provoca un cambio hacia abajo de la curva de la demanda hipotética para el té, de d a d" en la figura 2-12 b). Así, mientras el precio del té permanece a 20 centavos por taza, el consumo del individuo baja de 40 a 35 tazas por mes.

a)    En un sistema de ejes dibuje la curva hipotética de la demanda del individuo para el té 1) antes de subir el precio del café y de los limones como en los problemas 2.7 y 2.8,2) después de subir sólo el precio del café, como en el problema 2.7,3) después de subir sólo el precio de los limones, como en el problema 2.8 y 4) después de subir tanto el precio del café como el de los limones, como en los problemas 2.7 y 2.8.

b) En la figura 2-13, d representa la curva de la demanda hipotética del individuo para té, antes de subir el precio del café y de los limones; d' es la curva de la demanda del individuo para té, después de subir sólo el precio del café (un sustituto del té); d" es la curva de la demanda después de subir sólo el precio de los limones (un complemento del té); y d* es la curva de la demanda hipotética del individuo para el té, después de subir tanto el precio del café como el de los limones. De este modo al precio fijo de 20 centavos por taza, el individuo aumenta su consumo de té a 45 tazas por mes cuando el precio del café y el de los limones aumenta, como se indica en los Problemas 2.7 y 2.8.

2.10 La tabla 2.13 muestra las tablas de la demanda de tres individuos para el artículo X. Dibuje estas tres curvas de la demanda en el mismo sistema de ejes y derive geométricamente la curva de la demanda del mercado para el artículo X (en el supuesto de que sólo hay esos tres individuos en el mercado para X).

Tabla 2.13

Px($)	Cantidades demandada (por unidad de tiempo)
	Individuo 1	Individuo 2	Individuo 3
6 5 4 3 2 1	9 10 12 16 22 30	18 20 24 30 40 60	30 32 36 45 60 110

OFERTA

2.11    a) Exprese en lenguaje matemático sencillo lo estudiado en la sección 2.5.

b) Cómo se obtienen la tabla y la curva de la oferta del productor individual de un artículo? ¿Qué es lo que demuestran?

a) Lo que se dijo en la sección 2.5 puede expresarse en lenguaje matemático sencillo de la siguiente forma:

                                                                       o

donde Co_x = cantidad ofrecida del artículo X por el productor individual en un periodo determinado.

       = función de, o depende de (el símbolo distinto,    , en lugar de f, significa que se espera para Co_x una relación funcional específica distinta a la de Cd_x)

Tec = tecnología

P_i = precio de los insumos

F_n = características de la naturaleza como el clima y las condiciones climatológicas. La raya sobre los tres últimos factores indica que son constantes (la condición cet. par.).

La segunda expresión matemática general se lee: la cantidad del artículo X que ofrece un productor en un periodo determinado es una función de, o depende del precio de ese artículo mientras otros factores permanecen constantes.

b) Co_x =       (Px) cet. par. es una relación funcional general. Para derivar la tabla y la curva de la oferta del productor individual, se debe obtener su función de oferta específica La tabla de la oferta del productor individual y la curva de la oferta del artículo muestran las diferentes cantidades del artículo X que el productor está dispuesto a vender, a los diversos precios en un periodo determinado, mientras todo lo demás permanece constante. Muestran las diferentes opciones que tiene el productor en un momento particular del tiempo.

2.12 De la función específica de la oferta Co_x - 20P_X (P_x está dado en dólares), derive a) la tabla de la oferta del productor y b) su curva de la oferta, c) ¿Qué cosas se han mantenido constantes en la función de la oferta dada? d) ¿Cuál es el precio mínimo que debe ofrecerse a este productor a fin de inducirlo a ofrecer el artículo X al mercado?

a)                                                  Tabla 2.14

Px($)	6	5	4	3	2	1	0
COx	120	100	80	60	40	20	0

b) La forma y ubicación de la curva de la oferta de un productor (si existe) dependen de las condiciones de la producción y de ¡os costos (Capítulos 6 y 8), así como del tipo de organización del mercado que el productor esté operando (Capítulos 9 al 12). De aquí en adelante, a menos que se especifique otra cosa, la curva de la oferta tendrá pendiente positiva (su forma usual).

 

c)    Las cosas que se mantienen constantes al definir una tabla de la oferta del productor y al trazar su curva de la oferta, son la tecnología en la producción del artículo, los precios de los insumos necesarios para producir este artículo y las características de la naturaleza (si X es un producto agrícola).

d)    Cualquier precio superior a cero inducirá al productor a colocar alguna cantidad del artículo X en el mercado.

2.13 a) De la tabla de la oferta del productor del artículo X (Tabla 2.15), dibuje la curva de la oferta. b) ¿En qué forma es diferente la curva de la oferta y la del Problema 2.12?

Tabla 2.15

Px($)	6	5	4	3	2	1
Cox	42	40	36	30	20	i 0

Fig. 2-16

b) La curva de la oferta de este productor está dada por una curva, mientras que en el problema 2.12 era una línea recta. En el mundo real, una curva de la oferta puede ser una línea recta o una curva. Para simplificar, en el problema 2.12 (y en el texto) se utiliza una línea recta (pendiente positiva) para la curva de la oferta Asimismo debe notarse que de acuerdo con esta nueva curva de la oferta, el productor empezará a ofrece; alguna cantidad de X sólo cuando los precios estén por arriba de $1.

2.14  La tabla 2.16 muestra dos tablas de la oferta de un productor del artículo X. La primera de esas dos tablas (Co_x) es la misma del problema 2.13. La segunda (       ) es el resultado de un aumento

Tabla 2.16

Px(%)	6	5	4	3	2	1
Cox	42	40	36	30	20	0
Co'x	22	20	16	10	0	0

en el precio de los insumos necesarios para producir el artículo (permaneciendo todo lo demás constante), a) Grafique los puntos de las dos tablas de la oferta en el mismo sistema de ejes y obtenga las dos curvas de la oferta, b) ¿Qué sucedería si el precio de X aumentara de $3 a $5 antes del desplazamiento de la oferta? c) ¿Qué cantidad del artículo X colocará el productor en el mercado al precio de $3, antes y después de que la curva de la oferta se haya desplazado hacia arriba? d) ¿Qué sucede si al mismo tiempo que disminuye la oferta de X, el precio de X sube de $3 a $5?

a)    Véase figura 2-17.

b)    Cuando sube el precio de X de $3 a $5, la cantidad ofrecida de X por el productor, aumenta de 30 a 40 unidades por periodo. (Este es un movimiento a lo largo de o_x, en dirección ascendente del punto A al B en la figura.)

c)     El desplazamiento hacia arriba de toda la curva de oferta de o_x a o _x, se denomina disminución de la oferta. Al precio fijo de $3, el productor ofrece ahora (es decir, después del desplazamiento) 10 unidades de X en lugar de 30 (es decir, el productor pasa del punto A al punto C).

d)    Si al mismo tiempo disminuye la oferta de X y sube su precio de $3 a $5, el productor colocará en el mercado 10 unidades menos que antes de ocurrir estos cambios (es decir, pasa del punto A al D).

2.15 Suponga que como resultado de una mejora tecnológica, la función de la oferta del productor llega a ser Co'_x = -10 + 20P_X (como opuesta a Co_x = -40 + 2QP_X en el Ejemplo 7). a) Derive la nueva tabla de la oferta de este productor, b) En el sistema de ejes dibuje las curvas de la oferta de este productor antes y después de la mejora tecnológica, c) ¿Qué cantidad del artículo X ofrece este productor al precio de $4 antes y después de la mejora tecnológica?

                                                       Tabla 2.17

Px($)	6	4	2	.5
	110	70	30	0

c) Antes de aumentar la curva de oferta (desplazamiento hacia abajo), el productor ofreció para la venta 40 unidades de X al precio de $4. Después de la mejora tecnológica, el productor está dispuesto a ofrecer 70 unidades de X al precio de $4.

2.16 La tabla 2.18 muestra las tablas de la oferta de los tres productores del artículo X en el mercado. Dibuje, en un sistema de ejes, las curvas de oferta de los tres productores y derive geométrica­mente la curva de la oferta del mercado para el artículo X.

Tabla 2.18

Px ($)	Cantidad ofrecida (por periodo)
	Productor 1	Productor 2	Productor 3
6 5 4 3 2 1 0	22 20 16 10 0 0 0	42 40 36 30 20 0 0	53 50 46 42 35 25 10

De la tabla 2.18 se obtiene

Fig. 2-19

Esta curva de la oferta del mercado se obtuvo por la suma horizontal de las curvas de la oferta de los tres productores del artículo X. 

EQUILIBRIO

2.17 Hay 10000 individuos idénticos en el mercado del artículo X, cada uno con una función de la demanda dada por Cd_x = 12 - 2P_X (véase el Problema 2.3), y 1000 productores idénticos del artículo X, cada uno con una función dada por Co, = 2QP_X (véase el Problema 2.12). a) Encuentre la función de la demanda del mercado y la función de oferta del mercado para el artículo X. b) Encuentre la tabla de la demanda del mercado y la tabla de la oferta del mercado del artículo X y, a partir de ellas, obtenga el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio, c) Trace, en un sistema de ejes, la curva de la demanda del mercado y la curva de oferta del mercado para el artículo X y señale el punto de equilibrio, d) Obtenga matemáticamente el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio.

a)                                       CD_x = 10.000(12 – 2 P_x) cet.par.

                                                  = 120.000 – 20.000P_x cet.par.

                                          COx = 1.000(20P_x) cet.par.

                                                   = 20.000 – 20.000P_x cet.par.

b)                                 c)

Px($)	CDX	cox
6 5 4 3 2 1 0	0 20 000  40 000 60 000 80 000 100 000 120 000	120 000 100 000 80 000 60 000 40 000 20 000 0

d)                                                 CD_X = CO_x

120 000 - 20 000P_x = 20 000P_x

                  120 000 = 40 000P_x

        P_x = $3 (precio de equilibrio)

CD_X = 120 000 - 20 000(3) o CO_x = 20 000(3)

    = 60 000 (unidades de X)         =60 000 (unidades de A)

2.18 a) ¿Es estable la condición de equilibrio del problema 2.17? ¿Por qué? b) Defina el equilibrio inestable y el equilibrio neutral.

Tabla 2.20

Px($)	CDX	COx	Presión sobre el precio
6	0	120 000	descendente
5	20000	100 000	descendente
4	40 000	80 000	descendente
3	60 000	60 000	Equilibrio
2	80 000	40 000	ascendente
1	100 000	20 000	ascendente
0	120 000	0	ascendente

a)    La condición de equilibrio del problema 2.17 es estable por la siguiente razón: a precios superiores al precio de equilibrio, la cantidad ofrecida excede a la demandada. Se produce un excedente y el precio desciende hacia el nivel de equilibrio. A precios inferiores al nivel de equilibrio, la cantidad demandada excede a la cantidad ofrecida. Una escasez del artículo hace que el precio suba hacia el nivel de equilibrio. Esto se refleja en la tabla 2.20 y en la figura 2-21.

b)    Se tiene una situación de equilibrio inestable cuando un cambio de este equilibrio pone en operación fuerzas del mercado que alejan a uno más allá del equilibrio. Esto ocurre cuando la curva de la oferta del mercado tiene una pendiente menor que la de la demanda del mercado para el artículo. En el caso improbable de que la curva de la demanda del mercado coincida con la curva de oferta del mercado, se tiene una situación de equilibrio neutra o metaestable. Si esto ocurriera, un movimiento de alejamiento del punto de equilibrio no activa ninguna fuerza automática para regresar o alejarse más del punto de equilibrio original.

2.19 La tabla 2.21 muestra las tablas de la demanda de la oferta del mercado del artículo Y. ¿Es estable o inestable el equilibrio del artículo Y? ¿Por qué?

Tabla 2.21

Py($)	5	4	3	2	1
CDy	5000	6000	7000	8000	9000
COy	1 000	4000	7000	10 000	13 000

La tabla 2.22 y la figura 2-22 muestran que el precio de equilibrio es $3 y la cantidad de equilibrio 7000 unidades. Si por alguna razón sube el precio de Y a $4, la cantidad demandada (6000 unidades) excederá la cantidad ofrecida (4000), creando una escasez (de 2000). Esta escasez hará que suba aún más el precio de Y, alejándose todavía más del equilibrio. Ocurre lo contrario si un desplazamiento hace bajar el pre­cio de Y por debajo del precio de equilibrio. Así, el equilibrio para el artículo Y es inestable.

De la tabla 2.21 se obtiene

Tabla 2.22

Py(S)	CDy	Coy	Presión sobre Py
5	5000	1 000	ascendente
4	6000	4000	ascendente
3	7000	7000	Equilibrio
2	8000	10 000	descendente
1	9000	13 000	descendente

2.20 Si la tabla de la demanda del mercado del artículo Y y la tabla de la oferta son las que aparecen en la tabla 2.23, ¿el equilibrio del artículo Y sería estable, inestable o metaestable? ¿Por qué?

Tabla 2.23

Py($)	5	4	3	2	1
CDy	1 000	4000	7000	10 000	13 000
Coy	5 000	6 000	7000	8 000	9000

De la tabla 2.23 se obtiene

Tabla 2.24

Py($)	CDy	COy	Presión sobre Py
5 4 3 2 1	1 000 4000 7000 10 000 13 000	5 000 6000 7000 8 000 9000	descendente descendente Equilibrio ascendente ascendente

La tabla 2.24 y la figura 2-23 indican un mercado estable porque para precios superiores al precio de equilibrio, se da un excedente del artículo Y que empuja el precio hacia el nivel de equilibrio. Para precios de Y inferiores al precio de equilibrio, se da situación de escasez del artículo Y que empuja el precio hacia el nivel de equilibrio. Esto lo indica la dirección de las flechas en la figura. Note que aquí la curva de la oferta del mercado de Y tiene una pendiente negativa, pero es más inclinada que la curva de demanda del mercado para Y. Compare este caso con el del problema 2.19.

2.21 Suponga que de la condición de equilibrio del problema 2.17, hay un aumento del ingreso de los consumidores (ceteris paribus), por lo que se da una nueva curva de la demanda del mercado CD x = 140 000 - 20 000P_x. a) Derive la nueva tabla de la demanda del mercado, b) indique la nueva curva de la demanda del mercado (D _x ) en la gráfica del problema 2.17 c), y c) muestre el nuevo precio de equilibrio y la nueva cantidad de equilibrio para el artículo X.

Tabla 2.25

Px ($)	6	5	4	3	2	1	0
CDí	20 000	40 000	60 000	80 000	100 000	120 000	140 000

 

c) Cuando D_x se desplaza hacia    ¿(mientras todo lo demás permanece igual), el precio de equilibrio de X sube de $3 a $3. 50. La cantidad de equilibrio de X sube de 60 000 a 70 000 por periodo.

2.22 Suponga que a partir de la condición de equilibrio del problema 2.17, se da una mejora tecnológica en la producción de X (ceterisparibus), de tal manera que la nueva curva de la oferta del mercado está dada por CO '_x = 40 000 + 20 00OP*. a) Derive la nueva tabla de la oferta del mercado, b) indique la nueva curva de la oferta del mercado (O_x) en la gráfica del problema 2.17 c), c) determine el nuevo precio de equilibrio y la nueva cantidad de equilibrio para el artículo X.

Tabla 2.26

Px($)	6	5	4	3	2	1	0
CO'x	160 000	140 000	120 000	100 000	80 000	60 000	40 000

c) Cuando O_x se desplaza hacia abajo O’_x (un incremento en la oferta que resulta de una mejora tecnológica, y permaneciendo todo lo demás constante), el precio de equilibrio baja de $3 a $2. La cantidad de equilibre de X sube de 60 000 a 80 000 unidades por periodo.

2.23 Suponga que de la condición de equilibrio del problema 2.17, hay un aumento en el ingrese de los consumidores, de manera que la curva de la demanda del mercado es CD _x = 140 000 - 20 000P_x (véase el Problema 2.21), y al mismo tiempo hay una mejoría en la tecnología de la producción del artículo X, de manera que la nueva curva de la oferta del mercado es CO’_x, = 40 000 + 20 000P_x (véase el Problema 2.22). Todo lo demás permanece igual, a) Indique a nueva curva de la demanda del mercado (D '_x) y la nueva curva de la oferta del mercado (O’_x v en la gráfica del problema 2.17 c). b) ¿Cuáles son el nuevo precio de equilibrio y la nueva cantidad de equilibrio para el artículo X?

 

c)    Cuando D, se desplaza a D’_x y O_x cambia a O’_x ¿, el precio de equilibrio de X baja de $3 a $2.50. La cantidad de equilibrio aumenta de 60 000 a 90 000 unidades por periodo. Esto corresponde a un movimiento del punto de equilibrio A al punto de equilibrio D en la figura 2-26. (El punto B representa al punto de equilibrio encontrado en el problema 2.22.) Así, cuando la pendiente de la curva de la demanda del mercado tiene pendiente negativa, mientras que la curva de la oferta del mercado la tiene positiva, un aumento en ambas, siempre eleva la cantidad de equilibrio. Al mismo tiempo, el precio de equilibrio puede aumentar, decrecer, o permanecer al mismo nivel y esto depende de la magnitud del incremento de la demanda con respecto al de la oferta.

EJERCICIOS 

Ejercicio N° 1

Considere la relación 8 p + 20 q  25.000 = 0 donde p es el precio unitario del producto y qla cantidad (expresadas en unidades). En función de ello determine:

La función q = f(p), ¿Es la función lineal de oferta o de demanda del producto?

Justifique su respuesta. Interprete la pendiente de la función. Interprete la ordenada al origen y la abscisa al origen de la función. Considere, en el mismo ejercicio, la relación - 20 p + 8 q  25.000 = 0 donde p es el precio unitario del producto y q la cantidad (expresadas en unidades).

En función de ello determine:

La función q = f(p), ¿Es la función lineal de oferta o de demanda del producto? Justifique su respuesta. Interprete la pendiente de la función. Interprete la ordenada al origen y la abscisa al origen de la función. Considerando la función calculada en el punto anterior, determine y analice el punto de equilibrio del mercado (precio de equilibrio y cantidad de equilibrio).

Ejercicio N° 2

Si usted conoce dos puntos (precio; cantidad) localizados sobre una función lineal para un determinado producto, a saber:

Punto A ($25 ; 50.000 )

Punto B ($35 ; 42.500 )

1. Determine la función.

2. Determine el precio que daría por resultado 60.000 unidades.

3. Interprete la pendiente de la función.

4. Interprete la ordenada al origen y la abscisa al origen de la función

Considere la relación 8 p+20Q– 25000 = 0, donde pes el precio de un producto.a) Da la función explícitaQ = f(p). ¿Es la recta oferta o demanda?. ¿Por qué?.Debemos obtener Q haciendo pasaje de términos:20Q= -8 p +25000
  p +25000) / 20Q= -8/20 p +25000/20 = -2/5 p +1250La recta obtenida corresponde a demanda ya que su pendiente es negativa