MATEMATICAS APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS: abril 2014

MATEMÁTICA APLICADA A LA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

LIMITES MATEMÁTICOS

En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

LIMITE DE UNA SECESIÓN

La sucesión $a_{n} = 2^{(4-n)}$ para $\scriptstyle n \in \mathbb{N}_0$ converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto $L$ , si existe, para valores grandes de $n$ . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando $x$ tiende a $\infty$ .

Formalmente, se dice que la sucesión $a_n$ tiende hasta su límite $L$ , o que converge o es convergente (a $L$ ), y se denota como:

$\lim_{n\to\infty}a_n = L$

si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural $N$ tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural $n$ mayor que $N$ converjan a $L$ cuando $n$ crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta

$a_n \to L \Leftrightarrow$ $\forall\varepsilon>0, \exists N>0 : \forall n > N, |a_n - L|<\varepsilon$

Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

LIMITE DE UNA FUNCION

Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim_{x\to c} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

$\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}$

LIMITES LATERALES

Además del límite ordinario en el sentido anterior es posible definir para funciones de una variable los límites unilaterales por la derecha y por la izquierda. El límite por la derecha (cuando existe) es el límite de la sucesión:

$L^+(c) = \lim_{n \to \infty} \, f(c+1/n)$

Análogamente el límite por la izquierda (cuando existe) es:

$L^-(c) = \lim_{n \to \infty} \, f(c-1/n)$

para una función continua en c se tiene que $L^+(c) = L^-(c)$ .

LIMITE DE UNA SUCESIÓN DE CONJUNTOS

En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera $A_n$ , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales. En general se tiene:

$\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n = {\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right) \le \lim_{n\rightarrow\infty}A_n \le \limsup_{n\rightarrow\infty}A_n = {\bigcap_{n=1}^\infty} \left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right)$

Si el límite primer término y el penúltimo son iguales entonces se verifican todas las igualdades. Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. No es difícil construir sucesiones no convergentes donde se verifica que:

$\liminf_{n\rightarrow\infty}A_n < \limsup_{n\rightarrow\infty}A_n$

LA PRACTICA HACE AL MAESTRO, ASÍ QUE PORGAMOS EN PRACTICA LO ANTERIOR MENTE CITADO.

EJERCICIOS:

Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.