FUNCIONES LINEALES

una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Forma Punto-Pendiente

Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como.  En ésta ecuación, m es la pendiente y (x₁, y₁) son las coordenadas del punto.

Veamos de dónde es que viene ésta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella.

La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como . Ésta ecuación es la fórmula de la pendiente.

Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, . Si sustituimos éstas coordenadas en la fórmula, obtenemos . Ahora podemos manipular un poco la ecuación al multiplicar ambos lados de la fórmula por . Que se simplifica a .

 es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la pendiente en la fórmula punto-pendiente. No lo hicimos sólo por diversión, sino porque la fórmula punto-pendiente es a veces más útil que la fórmula de la pendiente, por ejemplo cuando necesitamos encontrar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente.

Hagamos otro ejemplo. Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de .

Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos . Que es la ecuación de la recta.

¿Cuál de los siguientes puntos se encuentra en la recta (y + 8) = 7(x − 5)?

A) (5, -8)

B) (5, 8)

C) (8, 5)

D) (8, -5)

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Forma estándar

Recuerda, la fórmula punto-pendiente es sólo un tipo de ecuación lineal. Es efectiva para describir algunas de las características de la recta. Sin embargo, ecuaciones punto-pendiente pueden ser difíciles de usar en algunas operaciones algebraicas. En esos casos, puede ser útil convertir la ecuación en una forma diferente, la forma estándar.

La forma estándar de una ecuación es Ax + By = C. En este tipo de ecuación, x y y son variables y A, B, y C son enteros.

Podemos convertir una ecuación punto-pendiente en su forma estándar si movemos las variables al lado izquierdo de la ecuación. Volvamos a la ecuación punto-pendiente de . Podemos arreglar los términos como sigue:

Ejemplo
Problema	(y − 3)	=
	4(y − 3)	=
	4y − 12	=	-1x + 1
	x + 4y − 12	=	-x + 1 + x
	X + 4y − 12	=	1
	x + 4y − 12 + 12	=	1 + 12
Forma estándar	x + 4y	=	13

Cuando movemos los términos variables al lado izquierdo de la ecuación y el resto al lado derecho, obtenemos .  Ésta ecuación está en su forma estándar.

Adaptando la Fórmula a la Situación

Ahora sabemos cómo convertir ecuaciones de punto-pendiente a su forma estándar, y cómo ir y venir entre una gráfica y una ecuación lineal. Pero con tantas opciones, ¿cómo decidimos cuál forma utilizar en una situación cotidiana?

La respuesta es identificar qué es lo que sabes y qué es lo que quieres averiguar, y ver qué forma utiliza esos términos. Veamos una situación donde una forma de ecuación es más útil que las otras.

Andre quiere comprar un reproductor de MP3. Tiene $50 de su cumpleaños, pero el reproductor que él quiere cuesta $230, así que tendrá que ahorrar para juntar el resto. Su plan es ahorrar $30 al mes hasta que consiga la cantidad que necesita. Lo ayudaremos a escribir una ecuación para analizar ésta situación. Esto nos ayudará a saber cuándo tendrá suficiente dinero para comprar el reproductor de MP3.

Cuando escribimos la ecuación, x será el tiempo en meses, y y será la cantidad de dinero ahorrado. Pasado el primer mes, Andre tiene $80. Lo que significa que cuando x = 1, y = 80. Entonces sabemos que la recta pasa por el punto (1, 80). También, sabemos que Andre espera ahorrar $30 al mes. Esto equivale a la tasa de cambio, o pendiente, que entonces será 30.

Tenemos un punto y tenemos la pendiente — es todo lo que necesitamos para escribir una fórmula punto-pendiente. así que esa será la forma de ecuación lineal que usaremos. Recuerda, la forma punto-pendiente es . Cuando sustituimos el punto y la pendiente, la ecuación se vuelve .

Muy bien,¿y ahora qué? Bueno, tenemos la fórmula que describe el plan de ahorro de Andre. Podemos utilizarla para calcular cuánto tiempo le tomará ahorrar el dinero que necesita para comprar el reproductor de MP3.

Recuerda, la y en la ecuación representa la cantidad que Andre ha ahorrado, y la x representa el número de meses que ha estado ahorrando. Queremos encontrar cuál es el valor de x cuando y es igual a 230. Entonces, sólo necesitamos igualar y con 230 en nuestra ecuación y resolver x.

Ejemplo
Problema	y − 80	=	30(x − 1)
	230 − 80	=	30(x − 1)
	150	=	30x − 30
	180	=	30x
Solución	6	=	x

El resultado es x = 6. Le tomará a Andre 6 meses ahorrar los $230 que necesita para comprar su reproductor de MP3. Ya que el problema nos dijo que conocíamos un punto y una pendiente, pudimos escoger la forma correcta para el trabajo de escribir la ecuación. Una vez que escribimos la ecuación, pudimos resolver la variable que queríamos encontrar.

EJERCICIOS 

Escribir su ecuación 

•   Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2, 5). 
• Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2, 5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.
• Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2, 5). 

1. Escribir la ecuación punto pendiente de:

•  Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director  = (2, 5).
•  Una recta que pasa por los puntos A(−2, −3) y B(4, 2).
•  Una recta que pasa por A(−2, −3) y tiene una inclinación de 45°.

1. Escribir la ecuación general de la recta que:

•  Pasa por A (1, 5) y tiene como vector director  igual (−2, 1).
•  Pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = −2.
• Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = −2.
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(2, −5).
• Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).
• Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y − 7 = 0.
• Estudiar la posición relativa de las rectas de ecuaciones:
• ¿Son secantes las rectas r ≡ x + y − 2 = 0 y s ≡ x − 2y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte.
• Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).
• Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, −3), B(3, 0) y C(0, 1).
1 2x + 3y − 4 =0
2 x − 2y + 1= 0
3 3x − 2y − 9 = 0
4 4x + 6y − 8 = 0
5 2x − 4y − 6 = 0
6 2x + 3y + 9 = 0
• De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(−2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.
• Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(−3, 2) y D(−1, −2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro.
• De un paralelogramo se conoce un vértice, A(8, 0), y el punto de corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

1. Los otros vértices.

• Las ecuaciones de las diagonales.
• La longitud de las diagonales.
• Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (−2, 2).
• La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. Calcula m y n.
• Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice B.

1. Los puntos A(−1, 3) y B(3, −3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2x − 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.