Abril, 2 del 2014

(matemática aplicada a la administración de Empresas)

FUNCIÓN CUADRÁTICA

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

$y = ax^2 + bx + c \,$

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola. Este tipo de funciones tiene como característica que cuando a>0 el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales $f(x) = 0 \$ . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como: $x_1$ y $x_2$ , dependiendo del valor del discriminante Δ definido como $\Delta = b^2 - 4 a c \$ .

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

$\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}$ .

Una solución real doble si el discriminante es cero:

$-\frac{b}{2a} . \,\!$

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

$\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},$

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

con $a \neq 0$ .

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,$

siendo a el coeficiente principal de la función, y $x_1$ y $x_2$ las raíces de $f(x)$ . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces $x_1 = x_2$ por lo que la factorización adquiere la forma:

$f(x) = a(x - x_1)^2 \,$

En este caso a $x_1$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,$

lo que resulta:

$y = f(0) = c \,$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

$y = ax^2 + bx + c \,$

es decir:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad ax^2 + bx + c = 0 \,$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ .

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremos

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: $f(x) = ax^2+bx+c\,$ , la coordenada x del vértice será simplemente: $x = \frac{-b}{2a}$ . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica: $f(x)=a (x-h)^2+k \,$ , las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k)

la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

$y = ax^2 + bx + c \,$

calculamos su derivada respecto a x:

$\frac{dy}{dx} ax^2 + bx + c = 2ax + b$

que si la igualamos a cero, tenemos:

$2ax + b = 0 \,$

donde x valdrá:

Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos:

$\frac{d^2y}{dx^2} \; ax^2 + bx + c = \frac{dy}{dx} \; 2ax + b = 2a$

esto es: 2a sera positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo.

EJEMPLOS:

Dada la función:

$x = x^2 - y - 2 \,$

De la figura, calcularemos su derivada primera:

$\frac{dy}{dx} \; x^2 - x - 2 = 2x - 1$

Esta derivada valdrá cero:

$\frac{dy}{dx} = 0$

cuando:

$2x - 1 = 0 \,$

esto es:

$2x = 1 \,$

$x = \cfrac{1}{2}$

Esta función presenta un extremo relativo para $x = \frac{1}{2}$ , veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda:

$\frac{d^2y}{dx^2} \; x^2 - x - 2 = \frac{dy}{dx} \; 2x - 1 = 2$

Que es 2, dado que 2 es un valor positivo, la función es concava, y el extremo relativo que presente para : $x = \cfrac{1}{2}$ , es un mínimo. El valor de la derivada segunda de una función de segundo grado es el coeficiente de $y = x^2$ , por lo que a la vista de la ecuación, podíamos adelantar que seria mínimo sin calcular la derivada segunda.

ESTA ES LA GRÁFICA

Y AHORA QUE YA SABEMOS LOS CONCEPTOS NECESARIOS Y HEMOS AFIANZADO COMPETENCIAS ¡DESARROLLEMOS EJERCICIOS!

PRIMER EJERCICIO:

y = −x² + 4x − 3

SOLUCIÓN

y = −x² + 4x − 3

1. Vértice

x_v= − 4/ −2 = 2 y_v= −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, −3)

2. Halle la Función Cuadrática de la siguiente función

y = x² + 2x + 1

1. Vértice

x_v= − 2/ 2 = −1 y_v= (−1)² + 2· (−1) + 1= 0 V(− 1, 0)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² + 2x + 1= 0

Coincide con el vértice: (−1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, 1)

3.Halle la Función Cuadrática de la siguiente función

y = x² +x + 1

1. Vértice.

x_v = −1/ 2 y_v = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4

V(−1/ 2, 3/ 4)

2. Puntos de corte con el eje OX.

x² + x + 1= 0

1² − 4 < 0 No hay puntos de corte con OX.

3. Punto de corte con el eje OY.

(0, 1)

MATEMATICAS APLICADAS EN LA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

martes, 1 de abril de 2014

FUNCIÓN CUADRÁTICA

(matemática aplicada a la administración de Empresas)

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Forma desarrollada

Forma factorizada

Forma canónica

Corte con el eje y

Corte con el eje x

Extremos

Y AHORA QUE YA SABEMOS LOS CONCEPTOS NECESARIOS Y HEMOS AFIANZADO COMPETENCIAS ¡DESARROLLEMOS EJERCICIOS!

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